Question

11．已知三棱锥P-ABC的侧棱的长均为4，记三棱锥P-ABC三个侧面的面积分别为S₁，S₂，S₃，则当S₁+S₂+S₃取到最大值时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为48π．

Answer 1

分析 由题意可得，三棱锥P-ABC三个侧面的面积和S₁+S₂+S₃取到最大值时，三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，三棱锥P-ABC的外接球就是以PA、PB、PC为棱的正方体的外接球，由此求出三棱锥P-ABC外接球的半径，则三棱锥P-ABC外接球的表面积可求．

解答 解：如图，三棱锥P-ABC的侧棱的长均为4，
设PA与PB的夹角为θ，则${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}PA•PB•sinθ$=$\frac{1}{2}×4×4sinθ$．
∴当$θ=\frac{π}{2}$时，S_△PAB有最大值．
则三棱锥P-ABC三个侧面的面积和S₁+S₂+S₃取到最大值时，三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直．
∴三棱锥P-ABC的外接球就是以PA、PB、PC为棱的正方体的外接球，
设其外接球半径为R，则（2R）²=4²+4²+4²=48，∴R²=12．
∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR²=4π×12=48π．
故答案为：48π．

点评 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法和分割补形法，是中档题．