题目内容
5．
甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，x∈[1，5]．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；
（Ⅱ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1，2）的红包个数为X，求X的分布列和期望．
分析 （I）由频率分布直方图的性质可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a．众数为2.5．
（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为$\frac{1}{5}$，则X～B$（3，\frac{1}{5}）$，X的取值为0，1，2，3．利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}（\frac{1}{5}）^{k}$，（k=0，1，2，3），可得分布列，进而定点数学期望．
解答 解：（I）由频率分布直方图可得：（0.18+0.2+0.32+a）×1=1，解得a=0.3．
众数为2.5．
（II）由频率分布直方图可得，红包金额在[1，2）的概率为$\frac{1}{5}$，则X～B$（3，\frac{1}{5}）$，
∴X的取值为0，1，2，3．
利用P（X=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{3-k}（\frac{1}{5}）^{k}$，（k=0，1，2，3），可得P（X=0）=$\frac{64}{125}$，P（X=1）=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=$\frac{12}{125}$，P（X=3）=$\frac{1}{125}$．
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |
点评 本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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B．
D．