Question

2．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，设a=f（（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$），b=f（（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$），c=f（log₂π），则a，b，c的大小关系是c＞a＞b（用“＞”号连接表示）

Answer 1

分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，分析可得f（x）的单调性，进而分析可得（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＜log₂π；结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，（x＞0）
则f（x）为增函数，
又由（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{\frac{1}{2}}$=$\root{6}{\frac{1}{4}}$，（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\root{6}{\frac{1}{27}}$，log₂π＞1，
则有（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$＜log₂π；
则有c＞a＞b；
故答案为：c＞a＞b．

点评 本题考查函数解析式的求法，以及函数单调性的判定以及应用，关键是求出函数的解析式．