Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，过A（0，1）作互相垂直的两直线AB，AC与椭圆交于B，C两点．
（Ⅰ）若直线BC经过点$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$，求线段BC的长；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不妨设直线AB：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1$．从而求出$B（{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}，\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}）$，$C（{\frac{18k}{{{k^2}+9}}，\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}）$，由此利用弦长公式能求出线段BC的长．
（Ⅱ）由已知求出${x_B}=-\frac{18k}{{1+9{k^2}}}$，${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，从而求出|AB、和|AC|，由此能求出△ABC面积的最大值．

解答 （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）不妨设直线AB：y=kx+1（k＞0），则AC的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{9}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得：（1+9k²）x²+18kx=0，
∴$B（{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}，\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}}）$，
同理k用$-\frac{1}{k}$代入得，$C（{\frac{18k}{{{k^2}+9}}，\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}）$，
∴${k_{BC}}=\frac{{\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}-\frac{{{k^2}-9}}{{{k^2}+9}}}}{{\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}-\frac{18k}{{{k^2}+9}}}}=\frac{{{k^2}-1}}{10k}$，…（4分）
∴直线$BC：y-\frac{{1-9{k^2}}}{{1+9{k^2}}}=\frac{{{k^2}-1}}{10k}（x+\frac{18k}{{1+9{k^2}}}）$，
即$y=\frac{{{k^2}-1}}{10k}x-\frac{4}{5}$，
∴直线过定点$（{0，-\frac{4}{5}}）$，…（5分）
又∵直线过$（\frac{8}{5}，\frac{4}{5}）$，∴直线BC：$y=x-\frac{4}{5}$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-\frac{4}{5}}\\{{x^2}+9{y^2}=9}\end{array}}\right.$，得$10{x^2}-\frac{72}{5}x-\frac{81}{25}=0$，
由弦长公式得$|{BC}|=\frac{{6\sqrt{117}}}{25}$．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${x_B}=-\frac{18k}{{1+9{k^2}}}$，${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
从而有$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{18k}{{1+9{k^2}}}，|{AC}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{18k}{{9+{k^2}}}$…（11分）
于是 ${S_△}ABC=\frac{1}{2}|{AB}||{AC}|=162\frac{{k（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（9+{k^2}）}}=162\frac{{k+\frac{1}{k}}}{{9（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+82}}$…（13分）
令$t=k+\frac{1}{k}≥2$，有${S_{△ABC}}=\frac{162t}{{9{t^2}+64}}=\frac{162}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{27}{8}$
当且仅当$t=\frac{8}{3}＞2$，$（{S_△}ABC）{\;}_{max}=\frac{27}{8}$…（15分）

点评 本题考查弦长的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程、弦长公式的合理运用．