Question

12．已知函数f（x）=x³lnx+ax³+b，（x＞0）在x=1处取极值，其中a，b为常数
（1）求a的值
（2）若函数f（x）在区间$[\frac{1}{e}，e]$上没有零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值检验即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的范围，解关于b的不等式，求出b的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²lnx+x²+3ax²，
由题意得：f′（1）=0，a=-$\frac{1}{3}$，
经检验符合题意，
故a=-$\frac{1}{3}$；
（2）f（x）=x³lnx-$\frac{1}{3}$x³+b，（x＞0），
∴f′（x）=3x²lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）递减，在（1，e）递增，
又f（1）=-$\frac{1}{3}$+b，f（e）=$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b，
f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{4}{{3e}^{3}}$+b，f（e）＞f（$\frac{1}{e}$），
∴x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，f（x）∈[-$\frac{1}{3}$+b，$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b]，
由题意得：-$\frac{1}{3}$+b＞0或$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b＜0，
故b＞$\frac{1}{3}$或b＜-$\frac{{2e}^{3}}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．