Question

6．（1）如果三角形的边长a、b、c满足等式a²+b²+c²=ab+bc+ca，求证：此三角形一定是正三角形；
（2）若a、b、c、$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$皆为有理数，证明：$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$为有理数．

Answer 1

分析 （1）分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，得出：a=b=c，即选出答案；
（2）反证法的证题步骤：假设结论不成立，即反射，再归谬，从而导出矛盾，得到结论．

解答 证明：（1）等式a²+b²+c²=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ac，
即a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0，
即（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
解得：a=b=c，
所以，△ABC是等边三角形．
（2）假设$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$至少有一个为无理数，根据$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$均非负，
且无理数的和或有理数与无理数的和为无理数，
可得$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$为无理数，与$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$为有理数矛盾，
所以假设不成立，
所以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$、$\sqrt{c}$为有理数．

点评 本题主要考查了利用对已知配方的技巧，结合结论a²+b²+c²=0?b=c=a=0判断三角形的形状；反证法关键是掌握反证法的证题步骤，注意矛盾的引出方法．