Question

2．已知函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a$=（2cosx，$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow b$=（cosx，1），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=$\sqrt{7}$，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和三角函数的化简，以及正弦函数的单调性即可求出，
（2）根据余弦定理和三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$ …（7分）．
又∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．…（8分）
∵a=$\sqrt{7}$，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7   ①…（9分）
∵sinB=2sinC∴b=2c  ②…（10分）
由①②得c²=$\frac{7}{3}$．…（11分）
∴S△ABC=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理涉及三角函数的单调性和三角形的面积公式，属于中档题．