在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$．以O为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ.且曲线C与直线l有且仅有一个公共点．(Ⅰ)求a,(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），且曲线C与直线l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）设A、B为曲线C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

分析（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程，依题意直线l与圆相切，由此能求出a的值．
（Ⅱ）设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{3}$），则|OA|+|OB|=ρ₁+ρ₂=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），由此能求出|OA|+|OB|的最大值．

解答解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程是x+$\sqrt{3}y$-3=0，
∵曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0），
∴曲线C的直角坐标方程是（x-a）²+y²=a²，
依题意直线l与圆相切，则d=$\frac{|a-3|}{2}$=a，
解得a=-3，或a=1，
∵a＞0，∴a=1．
（Ⅱ）如图，不妨设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{3}$），
则ρ₁=2cosθ，${ρ}_{2}=2cos（θ+\frac{π}{3}）$，
|OA|+|OB|=ρ₁+ρ₂=2cosθ+2cos（$θ+\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\sqrt{3}sinθ$=2$\sqrt{3}$cos（$θ+\frac{π}{6}$），
∴θ+$\frac{π}{6}$=2kπ，即$θ=2kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z时，|OA|+|OB|最大值是2$\sqrt{3}$．

点评本题考查实数值的求法，考查两线段和的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．

	A．	（-∞，-2016）		B．	（-2018，-2016）
	C．	（-2018，+∞）		D．	（-∞，-2018）∪（-2016，+∞）

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