Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：
（1）写出函数f（x），x∈R的增区间并将图象补充完整；
（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）-4ax+2，x∈[1，3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；
（2）令x＞0，则-x＜0，根据条件可得f（-x）=x²-2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（-x）=x²-2x，从而可得函数f（x）的解析式；
（3）先求出抛物线对称轴x=2a--1，然后分当2a+1≤1时，当1＜2a+1≤2时，当2a+1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．

解答 解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），
则f（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）；（5分）
（2）令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=x²-2x
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²-2x
∴解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$（10分）
（3）g（x）=x²-2x-4ax+2，对称轴为x=2a+1，
当2a+1≤1时，g（1）=1-4a为最小；
当1＜2a+1≤3时，g（2a+1）=-4a²-4a+1为最小；
当2a+1＞3时，g（3）=5-12a为最小；
∴g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{1-4a，a≤0}\\{-4{a}^{2}-4a+1，0＜a＜1}\\{5-12a，a≥1}\end{array}\right.$．（16分）

点评 本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．