Question

15．如图，矩形ABCD中，$AB=2\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$，M为DC的中点，将△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
（1）求证：平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E为D′B的中点，求三棱锥A-D′EM的体积．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，由题意可得∠AMB=90°，结合D'A⊥BM，可得BM⊥面D'AM，再由面面垂直的判定可得面ABCM⊥面D'AM；
（2）在矩形ABCD中，求得BM=2，${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，然后利用等积法求得三棱锥A-D′EM的体积．

解答 （1）证明：由题知，在矩形ABCD中，∠AMD=∠BMC=45°，
∴∠AMB=90°，又D'A⊥BM，D′A∩AM=A，
∴BM⊥面D'AM，
又BM?平面ABCM，
∴面ABCM⊥面D'AM；
（2）解：在矩形ABCD中，
∵AD=DM=$\sqrt{2}$，∴BM=2，${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$．
∴${V_{A-D'EM}}={V_{E-AD'M}}=\frac{1}{2}{V_{B-AD'M}}=\frac{1}{6}•BM•{S_{△D'AM}}=\frac{1}{6}•2•1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．