Question

8．设F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左右焦点，点P在椭圆上半部分且满足PF₂⊥x轴，则∠F₁PF₂的角平分线所在的直线方程为4x-2y-1=0．

Answer 1

分析 由椭圆性质得|PF₂|=$\frac{3}{2}$，|PF₁|=$\frac{5}{2}$，|F₁F₂|=2，tan∠F₁PF₂=$\frac{4}{3}$，设∠F₁PF₂的角平分线所在的直线交F₁F₂于点Q，由正切函数二倍角公式得tan∠QPF₂=$\frac{|Q{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，从而得到P（1，$\frac{3}{2}$），Q（$\frac{1}{4}$，0），由此能求出∠F₁PF₂的角平分线所在的直线方程．

解答 解：∵F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左右焦点，点P在椭圆上半部分且满足PF₂⊥x轴
∴|PF₂|=$\frac{3}{2}$，|PF₁|=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，|F₁F₂|=2，
tan∠F₁PF₂=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
设∠F₁PF₂的角平分线所在的直线交F₁F₂于点Q，
则有：tan∠F₁PF₂=$\frac{2tan∠QP{F}_{2}}{1-ta{n}^{2}∠QP{F}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，
解得tan∠QPF₂=$\frac{1}{2}$或tan∠QPF₂=-2（舍），
∴tan∠QPF₂=$\frac{|Q{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，
解得|QF₂|=$\frac{1}{2}|P{F}_{2}|=\frac{3}{4}$，∴|OF₁|=c-|QF₂|=1-$\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$），Q（$\frac{1}{4}$，0），
∴∠F₁PF₂的角平分线所在的直线方程PQ为：
$\frac{y}{x-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{4}}$，即4x-2y-1=0．
故答案为：4x-2y-1=0．

点评 本题考查角平分线所在直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、正切二倍角公式的合理运用．