Question

6．已知f（θ）=-cos²θ-2msinθ+2m+2，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R．
（1）求函数f（θ）的最小值g（m）；
（2）若对一切θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（θ）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换变换化简函数的解析式为f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1，sinθ∈[0，1]，分类讨论m的范围，求得它的最小值．
（2）由题意，f（θ）的最小值大于零，分类讨论求得m的范围．

解答 解：（1）∵f（θ）=-cos²θ-2msinθ+2m+2，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R，
∴f（θ）=sin²θ-2msinθ+2m+1=（sinθ-m）²-m²+2m+1．
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinθ∈[0，1]，
当m＜0时，则当sinθ=0时，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值为 2m+1；
当m∈[0，1]时，则当sinθ=m时，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值为-m²+2m+1；
当m＞1时，则当sinθ=1时，f（θ）=（sinθ-m）²-m²+2m+1取得最小值为 2．
（2）若对一切θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（θ）＞0恒成立，则f（θ）的最小值大于零．
由（1）可得，当m＜0时，2m+1＞0，求得-$\frac{1}{2}$＜m＜0；
当m∈[0，1]时，-m²+2m+1＞0，求得0≤m≤1；
当m＞1时，2＞0 恒成立，
综上可得，m的范围为m＞-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换变换，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．