Question

1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）与曲线C：ρ=2sinθ交于点A（异于点O）．
（I）求点A的极坐标；
（II）直线1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于点B（异于点O），求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （I）把射线1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入曲线C：ρ=2sinθ，可得ρ，即可得出A的坐标．
（II）曲线C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．直线1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为参数）可得普通方程：x=-$\sqrt{3}$y．代入圆的方程解得B坐标，可得|OB|，∠AOB=$\frac{π}{2}$．可得△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|．

解答 解：（I）把射线1：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入曲线C：ρ=2sinθ，可得ρ=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得A$（\sqrt{3}，\frac{π}{3}）$．
（II）曲线C：ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，可得x²+y²=2y．
直线1′：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=-t}\end{array}\right.$（t为参数）可得普通方程：x=-$\sqrt{3}$y．
代入圆的方程可得：2y²-y=0，y≠0，解得y=$\frac{1}{2}$，x=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|OB|=$\sqrt{（-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，∠AOB=$\frac{π}{2}$．
△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．