Question

已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）圆上存在两个不同点，满足..

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，考查学生的数形结合思想.第一问，利用直线方程得到椭圆的左焦点坐标，再结合离心率，得到椭圆的标准方程；第二问，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由已知弦长为，则由垂径定理得到圆的半径，从而得到圆的标准方程，利用两点间的距离公式得到和，代入已知中，得到P点的轨迹方程为圆，利用两个圆的位置关系判断两个圆相交，所以存在点P.

因为直线的方程为，

令，得，即 1分

∴ ，又∵，

∴ ，

∴ 椭圆的方程为. ４分

（2）∵ 圆心到直线的距离为，

又直线被圆截得的弦长为，

∴由垂径定理得，

故圆的方程为. ８分

设圆上存在点，满足即，

且的坐标为，

则， 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。

∴ １２分

故有，即圆与圆相交，有两个公共点。

∴圆上存在两个不同点，满足. １４分

考点：椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、垂径定理、圆的标准方程、两个圆的位置关系.