Question

4．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为$\frac{8}{3}$．
（1）求椭圆T的方程；
（2）过点P（2，1）的两条直线分别与椭圆T交于点A，C和B，D，若AB∥CD，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为$\frac{8}{3}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆T的方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），推导出$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，从而求出${x}_{3}=\frac{2（1+λ）-{x}_{1}}{λ}$，${y}_{3}=\frac{（1+λ）-{y}_{1}}{λ}$，由点C在椭圆上，得$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）-2（1+λ）（\frac{2{x}_{1}}{9}+\frac{{y}_{1}}{4}）+\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{9}$$+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}={λ}^{2}$，由点A在椭圆上，得到$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）={λ}^{2}-1$，由AB∥CD，则 $\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，同理可得（1+λ）²（$\frac{4}{9}+\frac{1}{4}$）-2（1+λ）（$\frac{2{x}_{2}}{9}+\frac{{y}_{2}}{4}$）=λ²-1，由此能求出直线AB的斜率．

解答 解：（1）∵椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为$\frac{8}{3}$．
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{8}{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2，
则椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．（6分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵过点P（2，1）的两条直线分别与椭圆T交于点A，C和B，D，AB∥CD，
∴$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PC}$，
则2-x₁=λ（x₃-2），1-y₁=λ（y₃-1），
故${x}_{3}=\frac{2（1+λ）-{x}_{1}}{λ}$，${y}_{3}=\frac{（1+λ）-{y}_{1}}{λ}$，
∵点C在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}=1$，则$\frac{[2（1+λ）-{x}_{1}]^{2}}{9{λ}^{2}}$+$\frac{[（1+λ）-{y}_{1}]^{2}}{4{λ}^{2}}$=1，
整理得$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）-2（1+λ）（\frac{2{x}_{1}}{9}+\frac{{y}_{1}}{4}）+\frac{{x}_{1}{\;}^{2}}{9}$$+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}={λ}^{2}$，
由点A在椭圆上知$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1$，
故$（1+λ）^{2}（\frac{4}{9}+\frac{1}{4}）={λ}^{2}-1$，①
又AB∥CD，则 $\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，
同理可得（1+λ）²（$\frac{4}{9}+\frac{1}{4}$）-2（1+λ）（$\frac{2{x}_{2}}{9}+\frac{{y}_{2}}{4}$）=λ²-1，②
①-②得$\frac{2}{9}（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{1}{4}（{y}_{2}-{y}_{1}）=0$，
由题意可知x₁≠x₂，则直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{8}{9}$．（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量知识、直线方程的性质的合理运用．