Question

20．数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$对所有正整数n都成立，且a₁=1，则a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$对所有正整数n都成立，且a₁=1，取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{2+{a_n}}}$对所有正整数n都成立，且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项与公比都为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
解得a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“取倒数法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．