Question

2．函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1+lnx（a＞0），若存在唯一一个整数x₀使f（x₀）＜0成立，则a的范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1]
• C． （0，2+2ln2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2）

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1，h（x）=-lnx，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在曲线y=h（x）的下方，根据二次函数的性质，数形结合可得g（1）＜h（1）=0且h（2）＞g（2），解关于a的不等式，取交集即可．

解答 解：设g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+1）x+1，h（x）=-lnx，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在曲线y=h（x）=-lnx的下方，
画出函数的图象，如图示：
，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x₀=1，f（x₀）＜0，
而h（1）=-ln1=0，g（1）=$\frac{1}{2}$-a＜0，解得：a＞$\frac{1}{2}$，
h（2）=-ln2，g（2）=2-2a-1＞-ln2，解得：a＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
故a∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2），
故选：D．

点评 本题考查二次函数、对数函数的单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．