Question

1．已知a，b∈R₊，求证$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$（用分析法证明）

Answer 1

分析 分析法证明不等式，寻找使$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．

解答 证明：要证$\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}（a+b）$，
只要证a²+b²≥$\frac{1}{2}$（a+b）²，
即证明2（a²+b²）≥a²+2ab+b²，
也就是证明（a-b）²≥0，
此式显然成立，故要证的不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法的应用，考查推理能力，体现了转化的数学思想，属于中档题．