Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，则使$\frac{n{S}_{n}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最小值时n的值为1．

Answer 1

分析 运用a_n+1=S_n+1-S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，运用等差数列的定义和通项公式，可得S_n=$\frac{1}{n}$，化简所给式子，可得单调性，即可得到最小值及对应的n的值．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，
可得S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，
即有$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，
故S_n=$\frac{1}{n}$，
则$\frac{n{S}_{n}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{1+\frac{10}{{n}^{2}}}$，
由$\frac{1}{1+\frac{10}{{n}^{2}}}$在定义域Z+上递增，
可得n=1时，取得最小值$\frac{1}{11}$；无最大值．
故答案为：1．

点评 本题考查了数列的通项与前n项和的关系，同时考查了整体思想与转化思想的应用及构造法的应用，考查数列的单调性的运用，属于中档题．