Question

2．已知函数f（x）=log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$，g（x）=log₂$\frac{2x+1}{8x+12}$．
（1）求证：函数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；
（2）求证：f（x+1）-2=g（x），并指出函数y=g（x）图象对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知中的解析式，证明出函数y=f（x）为奇函数，可得结论；
（2）根据对数的运算性质转化函数y=f（x）的解析式，可得f（x+1）-2=g（x），根据函数图象的平移变换法则，可得函数y=g（x）图象对称中心的坐标．

解答 证明：（1）函数f（x）=log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$的定义域（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）关于原点对称，
∵f（-x）=log₂$\frac{-2x-1}{-2x+1}$=log₂$\frac{2x+1}{2x-1}$=-log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$=-f（x）．
故函数y=f（x）为奇函数，
故函数y=f（x）的图象关于坐标原点对称；
（2）∵f（x+1）-2=${log}_{2}\frac{2（x+1）-1}{2（x+1）+1}$-2=${log}_{2}\frac{2x+1}{2x+3}$-log₂4=log₂$\frac{2x+1}{8x+12}$．
∴f（x+1）-2=g（x），
即函数y=f（x）的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位可得函数y=g（x）的图象，
故函数y=g（x）图象对称中心的坐标为（-1，-2）

点评 本题考查的知识是函数图象的平移变换，函数的奇偶性，对数的运算性质，难度中档．