题目内容

设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程。
解：设点的坐标，
则，
，
由（1）－（2）可得，
又MN⊥MQ，，
所以，直线QN的方程为，
又直线PT的方程为，
从而得，
所以，
代入（1）可得，此即为所求的轨迹方程。
练习册系列答案
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（2010•青岛一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若
PF2
•
F1F2
=0，
OH
•
PF1
=0，|
OH
|=λ|
OF1
|，λ∈[
1
3
，
1
2
]（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值；
（Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b2=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若
NQ
=2
QM
，求直线l的方程．
（2012•上饶一模）已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
OM
+
ON
=
OQ
成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．
（2011•宝坻区一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
5
=1（a＞0）的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，
AF2
•
F1F2
=0，坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|
MQ
|=2|
QF
|，求直线l的斜率．
（2013•临沂一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x-y+
2
=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点（-
1
2
，-1）．

（08年青岛市质检一理）  （12分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，

且，坐标原点O到直线AF1的距离为

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点，交y轴于点M，若的斜率。

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