Question

5．如图，A，B是⊙O上的两点，P为⊙O外一点，连结PA，PB分别交⊙O于点C，D，且AB=AD，连结BC并延长至E，使∠PEB=∠PAB．
（Ⅰ） 求证：PE=PD；
（Ⅱ） 若AB=EP=1，且∠BAD=120°，求AP．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证连结DC，只要判断△PEC≌△PDC，利用三角形全等的性质即得．
（Ⅱ）判断△ABC∽△APB，利用全等的性质得到AB²=AP•AC=AP（AP-PC），进一步得到$A{P^2}-2A{B^2}=AB•BD=\sqrt{3}$，解得；

解答 （Ⅰ）证明：连结DC，
因为∠PCE=∠ACB=∠ADB，∠PCD=∠ABD，又因为AB=AD，
所以∠ABD=∠ADB，
所以∠PCE=∠PCD…（3分）
由已知∠PEB=∠PAB，∠PDC=∠PAB，
所以∠PEC=∠PDC，且PC=PC，
所以△PEC≌△PDC，所以PE=PD…（5分）
（Ⅱ）因为∠ACB=∠PBA，∠BAC=∠PAB
所以△ABC∽△APB，则AB²=AP•AC=AP（AP-PC），
所以AP²-AB²=AP•PC=PD•PB=PD（PD+BD）
又因为PD=AB，AB=1，所以$A{P^2}-2A{B^2}=AB•BD=\sqrt{3}$，…（8分）
所以$A{P^2}=2+\sqrt{3}$．
所以 $AP=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$…（10分）

点评 本题考查了三角形全等和相似的判定定理和性质定理的运用，通过圆的有关性质得到线段之间的关系是关键．