Question

18．如图在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可

解答 证明：（1）因为D，E是PC，AC中点，
∴PA∥DE
∵DE?平面DEF，PA?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，
∴PA=2DE，BC=2FE
∵PA=6，BC=8，DF=5
∴DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE²+EF²=DF²∴DE⊥EF，
∵PD=AD，D为PC的中点
∴AD=DC
∵E为AC的中点，
∴DE⊥AC
∵AC∩EF=E，
∴DE⊥平面ABC，
∵DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABC．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是中档题．