Question

7．已知f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$），g（x）=cos²（x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 函数f（x），g（x）的最小正周期都为2π
• B． 函数f（x），g（x）都是偶函数
• C． 将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位可以得到g（x）的图象
• D． 将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位可以得到g（x）的图象

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简两个函数，利用余弦函数的图象和性质，三角函数周期公式可求周期，奇偶性，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．

解答 解：∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos2x，函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，为偶函数，
g（x）=cos²（x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+cos（2x-\frac{π}{2}）}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos[2（x-$\frac{π}{4}$）]，函数g（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，为奇函数，
∴对于A，函数f（x），g（x）的最小正周期都为π，故A错误；
对于B，函数g（x）为奇函数，故B错误；
对于C，将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位可以得到y=$\frac{1}{2}$cos[2（x+$\frac{π}{4}$）]的图象，故C错误；
对于D，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位可以得到g（x）=$\frac{1}{2}$cos[2（x-$\frac{π}{4}$）]的图象，故D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．