题目内容
三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=
，则此三棱锥外接球的体积为 ．
| 3 |
考点：球内接多面体
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：根据题意可得BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜边，利用直角三角形的性质，得到BD的中点E就是三棱锥A-BCD外接球的球心．Rt△ABD中利用勾股定理算出球直径为2，得到半径R=1，再利用球的体积公式即可算出答案．
解答：
解：
取BD的中点E，连结CE、AE，
∵BA⊥AD，BC⊥CD，
∴BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜边，
∵E为BD的中点，∴EC=EA=EB=ED=
BD
由此可得点E是三棱锥A-BCD外接球的球心．
又∵AB=1，AD=
，∴BD=
=2，
可得三棱锥A-BCD外接球的直径为2，半径R=1，
因此，三棱锥外接球的体积为V=
=
故答案为：
取BD的中点E，连结CE、AE，∵BA⊥AD，BC⊥CD，
∴BD是Rt△ABD、Rt△CBD公共的斜边，
∵E为BD的中点，∴EC=EA=EB=ED=
| 1 |
| 2 |
由此可得点E是三棱锥A-BCD外接球的球心．
又∵AB=1，AD=
| 3 |
| AD2+AB2 |
可得三棱锥A-BCD外接球的直径为2，半径R=1，
因此，三棱锥外接球的体积为V=
| 4πR3 |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
故答案为：
| 4π |
| 3 |
点评：本题给出三棱锥满足的条件，求它的外接球体积．着重考查了球内接多面体的性质、勾股定理和球的体积公式等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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| 1 |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
| C、-1 | ||
| D、1 |