Question

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求所有实数的值；

（3）对任意的，证明：

 

Answer 1

（1）递增区间为，递减区间为;（2）;（3）略.

【解析】

试题分析：此题是导数的综合题.（1）考察函数的求导，导数大于（大于或等于）零的区间即为函数递增区间，小于（小于或等于）零的区间即为函数递减区间；（2）恒成立问题一般情况下是转化为求最值问题，借助第一问的单调性，注意主元思想的变换；（3）见详解.

试题解析：（1），

当时，，减区间为

当时，由得，由得

∴递增区间为，递减区间为

（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而

∴在区间上不可能恒成立

当时，在上递增，在上递减，，令， 依题意有，而，且

∴在上递减，在上递增，∴，故

（3）由（2）知：时，且恒成立

即恒成立则

又由知在上恒成立，

∴

综上所述：对任意的，证明：

考点：导数的求法，利用导数求函数最值，不等式的证明.