Question

12．如图，在三棱锥V-ABC中，三角形VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=$\sqrt{2}$，VC=2，点O，M分别为AB，VA的中点．
（1）证明：VB∥平面MOC；   
（2）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得OM∥VB，故而VB∥平面MOC；
（2）连接VO，证明VO⊥平面ABC，于是V_V-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•VO$．

解答 证明：（1）∵O，M分别是AB，AV的中点，
∴OM∥VB，
又OM?平面MOC，VB?平面MOC，
∴VB∥平面MOC．
解：（2）连接OV．
∵AC⊥BC，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥OC，AB=2，OC=1．
∵△VAB为等边三角形，
∴VO⊥AB，VO=$\sqrt{3}$．
∵VC=2，
∴VO²+OC²=VC²，
∴VO⊥OC．
又AB?平面ABC，OC?平面ABC，AB∩OC=C，
∴VO⊥平面ABC．
∴V_V-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•VO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．