Question

14．已知f（x）=alnx-ax²（$\frac{1}{2}$≤x≤1）满足：斜率不小于1的任意直线l与f（x）的图象至多有一个公共点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-2，1]
• C． [-1，2]
• D． [ln2-2，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一个解，讨论a=0，a＞0，a＜0，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=alnx-ax²的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-2ax，
由任何斜率不小于1的直线与f（x）的图象至多有一个公共点，
可得$\frac{a}{x}$-2ax≥1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]）最多只有一个解，
当a=0时，显然成立；
当a＞0时，$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]递减，可得值域为[0，1]，
可得$\frac{1}{a}$≥1，解得0＜a≤1；
当a＜0时，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤1时，$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{x}$-2x，
由$\frac{1}{x}$-2x在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]递减，可得值域为[-1，0]，
可得$\frac{1}{a}$≤-1，解得-1≤a＜0．
综上可得a的范围是[-1，1]．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想的运用，以及参数分离方法，考查运算求解能力，属于中档题．