Question

7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求图中a、b的值及函数f（x）的递减区间；
（3）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得，a=$\frac{5π}{12}$，b=f（0），计算求得结果，再利用正弦函数的单调性求得函数的减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=2，
$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=π，可得φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由题意可得，a=$\frac{5π}{12}$-T=$\frac{5π}{12}$-$\frac{2π}{2}$=-$\frac{7π}{12}$，b=2sin（0+$\frac{π}{6}$）=1．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（3）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
得到g（x）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）的图象
根据g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得$\frac{2π}{3}$+2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故要求m的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．