Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，则{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ+n²-n-1．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，当n≥2时，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，进而利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=2n+2ⁿ，
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[2（n-1）+2^n-1]+[2（n-2）+2^n-2]+…+（2+2¹）+1
=2[（n-1）+（n-2）+…+1]+（2^n-1+2^n-2+…+2¹+1）
=2•$\frac{（n-1）[（n-1）+1]}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=2ⁿ+n²-n-1，
又∵当n=1时上式成立，
∴a_n=2ⁿ+n²-n-1，
故答案为：2ⁿ+n²-n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查累加法，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．