Question

y=

2

2

(|sinx|+cosx)，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据x的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简|sinx|，然后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x的范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，如图所示，由题意函数图象与直线y=k仅有两个不同的交点，根据正弦图象可得出k的范围．

解答：解：当x∈[0，π]时，|sinx|=sinx，
所以y=

2

2

（sinx+cosx）=sin（x+

π

4

），
当x∈（π，2π）时，|sinx|=-sinx，
所以y=

2

2

（-sinx+cosx）=sin（

π

4

-x），
根据解析式画出分段函数图象，如图所示：
根据图象可得k的范围为-

2

2

＜k＜

2

2

或k=1．
故答案为：-

2

2

＜k＜

2

2

或k=1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象，利用了数形结合的思想．根据x的范围化简|sinx|，再利用三角函数的恒等变换得到一个角的正弦函数，从而确定出分段函数的解析式，在坐标系中画出相应的分段函数图象是解本题的关键．