Question

19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.（a$为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）已知点P，Q分别是线C₁，C₂的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C₁直角坐标方程．利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C₂的直角坐标方程；
（2）设P的坐标（$\sqrt{3}cosα$，sinα），利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解|PQ|的最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosa\\ y=sina\end{array}\right.（a$为参数），
可得：$\frac{x}{\sqrt{3}}=cosα$，sinα=y，
则$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
故得C₁直角坐标方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
则ρsinθ+ρcosθ=4
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴x+y=4．
故得C₂的直角坐标方程为：x+y-4=0．
（2）设$P（{\sqrt{3}cosa，sina}），d=\frac{{|{\sqrt{3}cosa+sina-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{a+\frac{π}{3}}）-4}|}}{{\sqrt{2}}}，{d_{min}}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
即|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换．利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题．