Question

16．设函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+m．
（Ⅰ）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；
（Ⅲ）若g（x）=mx-6x²-2f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；
（2）求出f（x）的极大值和极小值，从而求出m的范围即可；
（3）求出g（x）的导数，得到函数的单调性，求出函数的g′（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x²-9x+（6-a）≥0恒成立，
∴△=81-12（6-a）≤0，解得：a≤-$\frac{3}{4}$，
∴a的最大值是-$\frac{3}{4}$；
（2）由f′（x）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）_极大值=f（1）=$\frac{5}{2}$+m，f（x）_极小值=f（2）=2+m，
故f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，
∴m的范围是（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（-2，+∞）；
（3）∵g（x）=-2x³+3x²+（m-12）x-2m，
∴g′（x）=-6${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+（m-$\frac{21}{2}$），
当x∈[1，+∞）时，g′（x）的最大值是g′（1）=m-12，
令g′（1）＞0，解得：m＞12，
∴m的范围是（12，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．