Question

19．已知方程：|x-2|+|x+1|=a（a∈R）有解．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求g（a）=a+$\frac{32}{a^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得y的最小值，从而求得a的范围．
（2）由a≥3，及均值不等式求得g（a）的最小值．

解答 （1）设y=|x-2|+|x+1|，由绝对值的性质可知：y=|x-2|+|x+1|≥|（x-2）-（x+1）|=3，
∴函数y=|x-2|+|x+1|的值域是y≥3，
要使方程|x-2|+|x+1|=a有解，a≥y_最小值 ，
∴a的取值范围是：a≥3．
（2）由a≥3，及均值不等式，可知$g（a）=a+\frac{32}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{32}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}×\frac{a}{2}×\frac{32}{a^2}}}=6$，
当且仅当$\frac{a}{2}=\frac{32}{a^2}$时取等号，此时，a=4∈（3，+∞），
∴$g（a）=a+\frac{32}{a^2}$的最小值等于6．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．