Question

在等比数列{a_n}（n∈N₊）中，a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）由题意和对数的运算求出b_n+1-b_n=log₂q为常数，即证出数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q；
（2）利用等差数列的性质和条件求出然后再求b₃=2，再求出a₃的值，再由条件求出a₅的值，由等比数列的性质求出q，再代入等比数列的通项公式，由b₁和b₃的值求出公差，代入等差数列的前n项和公式求出S_n．

解答：（1）证明：由题意得，b_n=log₂a_n，
∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n
=

log

an+1 an 2

=log₂q为常数，
∴数列{b_n}是以公差d=log₂q等差数列．
（2）解：由（1）和b₁+b₃+b₅=6，
得3b₃=6，即b₃=2，
∴b₃=log₂a₃=2，得b₃=2，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁＞0．
∵b₁b₃b₅=0，∴b₅=0，即log₂a₅=0，得a₅=1．
∴q2=

a5

a3

=

1

4

，由q＞0得q=

1

2

，
由a₃=a₁q²=4得，a₁=16，
∴a_n=a₁q^，n-1=2^5-n（n∈N^*）．
由b₁=log₂a₁=log₂16=4，b₃=2得，公差d=-1，
∴S_n=nb₁+

n(n-1)

2

×d=4n-

n(n-1)

2

=

9n-n2

2

，
故{b_n}的前n项和S_n=

9n-n2

2

．

点评：本题主要考查了等差（等比）数列的通项公式和前n项和公式、性质灵活应用，以及对数的运算等，考查了等差数列的证明方法．