Question

19．已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，$f（x）=\frac{3^x}{{{9^x}+1}}-\frac{1}{2}$，
（1）求函数y=f（x）在R上的解析式；
（2）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（3）求不等式 $f（x）＞\frac{1}{3}的解集$．

Answer 1

分析 （1）可设x＞0，从而-x＜0，这便可得到$f（-x）=\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}=-f（x）$，从而便可得出y=f（x）在R上的解析式；
（2）x∈（-∞，0）时，求导数$f′（x）=\frac{{3}^{x}ln3（1-{9}^{x}）}{（{9}^{x}+1）^{2}}$，可以判断f′（x）＞0，从而得出y=f（x）在（-∞，0）上为增函数；
（3）根据（2）便可判断出f（x）在R上为增函数，并可得出x≤0时，f（x）≤0，x＞0时，f（x）＞0，从而令$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$便可解出x，从而由f（x）的单调性即可解出$f（x）＞\frac{1}{3}$的解集．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函数，设x＞0，-x＜0，则：$f（-x）=\frac{{3}^{-x}}{{9}^{-x}+1}-\frac{1}{2}=\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}=-f（x）$；
∴$f（x）=-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}}&{x≤0}\\{-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}}&{x＞0}\end{array}\right.$；
（2）x∈（-∞，0）时，$f′（x）=（\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}）′-（\frac{1}{2}）′$=$\frac{{3}^{x}ln3（{9}^{x}+1）-{3}^{x}•{9}^{x}•2ln3}{（{9}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{3}^{x}ln3（1-{9}^{x}）}{（{9}^{x}+1）^{2}}$；
∵x＜0；
∴9^x＜1，1-9^x＞0，且3^x＞0，ln3＞0；
∴f′（x）＞0；
∴函数y=f（x）在（-∞，0）上是增函数；
（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都是增函数，x=0时，$\frac{{3}^{0}}{{9}^{0}+1}-\frac{1}{2}=0$，∴x≤0时，$\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}-\frac{1}{2}≤0$；
x=0时，$-\frac{{3}^{0}}{{9}^{0}+1}+\frac{1}{2}=0$，∴x＞0时，$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}＞0$；
∴令$-\frac{{3}^{x}}{{9}^{x}+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，解得$x=lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}），或x=lo{g}_{3}（3-2\sqrt{2}）$；
∵x＞0，∴$x=lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}）$；
∴由f（x）$＞\frac{1}{3}$得，$f（x）＞f（lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}））$；
∴$x＞lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}）$；
∴不等式$f（x）＞\frac{1}{3}$的解集为$（lo{g}_{3}（3+2\sqrt{2}），+∞）$．

点评 考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求对称区间上解析式的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及分段函数单调性的判断，增函数的定义，根据单调性解不等式的方法．