Question

10．（文科答）已知数列{a_n}及等差数列{b_n}，若a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），a₁=b₂，2a₃+a₂=b₄，
（1）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），a₁-2=1，数列{a_n-2}为以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由a₁=b₂，即可求得b₂，2×（$\frac{1}{4}$+2）+$\frac{1}{2}$+2=b₄，求得b₄的值，根据等差数列的性质，2d=b₄-b₂=4，d=2，b_n=b₂+（n-2）d=2n-1，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（3）由（2）可知：$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂项法”即可求得T_n．

解答 解：（1）证明：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1，即a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
a₁-2=1，
∴数列{a_n-2}为以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）∴a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，即a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1+2，
b₂=a₁=3，
2a₃+a₂=b₄，即2×（$\frac{1}{4}$+2）+$\frac{1}{2}$+2=b₄，
b₄=7，
2d=b₄-b₂=4，d=2，
∴b_n=b₂+（n-2）d=2n-1，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2n-1；
（3）$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n，
T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$}的前n项和为T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查求数列的通项公式，等差数列的性质，采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．