Question

11．已知关于x的不等式|x-2|-|x-3|≤m对x∈R恒成立．
（1）求实数m的最小值；
（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=k，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （1））|x-2|-|x-3|≤|（x-2）-（x-3）|=1，由此能求出m最小值．
（2）由（1）知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$，由此利用均值不等式能证明a+2b+3c≥9．

解答 解：（1）∵|x-2|-|x-3|≤|（x-2）-（x-3）|=1，
不等式|x-2|-|x-3|≤m对x∈R恒成立，
∴m≥1，
∴m最小值为1．
（2）由（1）知k=1，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$，
$a+2b+3c=（a+2b+3c）（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）$
=$3+\frac{a}{2b}+\frac{a}{3c}+\frac{2b}{a}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}+\frac{3c}{2b}$
$≥3+2\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{2b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{3c}•\frac{3c}{a}}+2\sqrt{\frac{2b}{3c}•\frac{3c}{2b}}=9$．
当且仅当a=2b=3c时等号成立，
∴a+2b+3c≥9．

点评 本题考查实数的最小值的求法，考查不等式的证明，发题时要认真审题，注意均值不等式的性质的合理运用．