Question

设|

OA

|=|

OB

|=2，∠AOB=60°，

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=2，则

OA

在

OP

上的投影的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：可将

OA

•

OP

用

OA

，

OB

数量积表示出来，再由|

OA

|=|

OB

|=2，且∠AOB=60°，计算出

OA

•

OP

的值，即可得到

OA

在

OP

上的投影的取值范围．

解答： 解：由于

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=2，
则

OA

•

OP

=

OA

•[λ

OA

+（2-λ）

OB

]
=λ

OA

²+（2-λ）

OA

•

OB

，
又由|

OA

|=|

OB

|=2，∠AOB=60°，
则

OA

•

OP

=4λ+4-2λ=2λ+4，
|

OP

|=

[λ OA +(2-λ) OB ]2

=

4λ2-8λ+16

，
故

OA

在

OP

上的投影为

2λ+4

4λ2-8λ+16

=

λ+2

λ2-2λ+4

，
当λ＜-2时，上式=-

(λ+2)2 λ2-2λ+4

=-

1+ 6λ λ2-2λ+4

=-

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈（-1，0）；
当λ≥-2时，上式=

(λ+2)2 λ2-2λ+4

=

1+ 6λ λ2-2λ+4

；
①λ=0，上式=1；
②-2≤λ＜0，上式=

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈[0，1）；
③λ＞0，上式=

1+ 6 λ+ 4 λ -2

∈（1，2]；
综上，

OA

在

OP

上的投影的取值范围是（-1，2]
故答案为：（-1，2]．

点评：本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题．