题目内容
15．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，利用奇偶性的定义即可判断f（x）是奇函数；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$的定义域是D=（-∞，0）∪（0，+∞），
任取x∈D，则-x∈D，
且f（-x）=-x-$\frac{1}{-x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x2-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，
x1-x2＜0，x1x2+1＞0，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断与应用问题，是基础题目．
练习册系列答案
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