Question

19．已知$f（x）=\frac{{{e^{ax}}}}{x}$（其中e=2.718…）．
（1）若f（x）在（0，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为a≤$\frac{1}{x}$在（0，4]恒成立，求出a的范围即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{ax}（ax-1）}{{x}^{2}}$，
若f（x）在（0，4]上是减函数，
只需ax-1≤0在（0，4]恒成立，
即a≤$\frac{1}{x}$在（0，4]恒成立，
∴a≤$\frac{1}{4}$；
（2）a=1时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
①0＜m＜1时，2＜m+2＜3，
∴f（x）在[m，1）递减，在（1，+m+2]递增，
∴f（x）_min=f（1）=e；
②m≥1时，f（x）在[m，m+2]递增，
∴f（x）_min=f（m）=$\frac{{e}^{m}}{m}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．