Question

()若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形

数表，当时，求第行各数的和；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

（Ⅲ）见解析

解析:

（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，

所以 ．

设，   ①

因为数列是调和数列，故，．

所以，．   ②

由①得，代入②式得，

所以，即.

故，所以数列是等比数列．       …………………………5分

（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有个数，

所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.

因此第行第1个数是数列中的第项.

故第行第1个数是，

所以第行各数的和为．  ………… 9分

（Ⅲ）因为，所以.

所以．

又 ，

，

所以

.

所以 ．   ………………………14分