Question

19．半球内有一内接正四棱锥，该正四棱锥的侧面积是4$\sqrt{3}$，则该正四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设球的半径为R，底面正方形的边长为x，则2x²=（2R）²，解得x=$\sqrt{2}$R．利用S_侧面积=×$4×\frac{1}{2}×\sqrt{2}R$×$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，解得R．再利用正四棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 解：设球的半径为R，底面正方形的边长为x，则2x²=（2R）²，解得x=$\sqrt{2}$R．
∵S_侧面积=×$4×\frac{1}{2}×\sqrt{2}R$×$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，解得R=$\sqrt{2}$．
∴x=2．
∴该正四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
故答案为：$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了球的性质、正四棱锥的性质及其侧面积与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．