Question

2．已知{a_n}是一个等差数列，a₂+a₈=-4，a₆=2．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₈=-4，a₆=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+8d=-4}\\{{a}_{1}+5d=2}\end{array}\right.$，解得a₁=-18，d=4．
∴a_n=-18+4（n-1）=4n-22．
（II）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（4n-22）（4n-18）}$=$\frac{1}{8}$$（\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{8}$$[（\frac{1}{-9}-\frac{1}{-7}）$+$（\frac{1}{-7}-\frac{1}{-5}）$+…+$（\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}）]$
=$\frac{1}{8}（-\frac{1}{9}-\frac{1}{2n-9}）$
=-$\frac{n}{36（2n-9）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．