Question

如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．

（2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．

（3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．

Answer 1

解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．

………………4分

（3）具有“性质”，，，

，从而得到是以2为周期的函数．

又设，则，

．

再设（），

当（），则，

；

当（），则，；

对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．