Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线y=2x+m对称．

Answer 1

分析 由题意设关于直线y=2x+m对称的点为A，B，则AB的方程为y=-$\frac{1}{2}x+n$，联立椭圆方程与直线方程，由判别式大于0求得n的范围，利用根与系数的关系求出AB的中点C的坐标，再分别代入两条直线方程，得到n与m的关系，再由n的范围求得m的范围．

解答 解：设关于直线y=2x+m对称的点为A，B，则AB的方程为y=-$\frac{1}{2}x+n$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{1}{2}x+n}\end{array}\right.$，消去y整理得：4x²-4nx+4n²-12=0．
即x²-nx+（n²-3）=0．
由△=n²-4n²+12＞0，得-2＜n＜2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=n，{x}_{1}{x}_{2}={n}^{2}-3$，再设AB的中点为C（x₀，y₀），
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{n}{2}$，
又C在y=-$\frac{1}{2}x+n$上，得${y}_{0}=\frac{3}{4}n$，
C在y=2x+m上，得$\frac{3}{4}n=2×\frac{n}{2}+m$，即n=-4m．
则-2＜-2m＜2，得$-\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了存在性问题的求解方法，训练了点关于线的对称点的求法，是中档题．