Question

18．如图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M，N分别是AB，SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 连接CM，过N作NQ∥SM，并连接BQ，根据中位线的性质，直角三角形边的关系以及余弦定理表示出BN，NQ，BQ，并根据余弦定理求出cos∠BNQ，从而求得∠BNQ，并根据∠BNQ的大小判断该角是否是异面直线SM，BN所成的角，并求出这个角．

解答 解：如图，连接CM，过N作SM的平行线NQ，交CM与Q，连接BQ；
则SM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；BQ=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴cos∠BNQ=$\frac{\frac{3}{16}+\frac{3}{4}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∵NQ∥SM，∴∠BNQ是异面直线SM与BN的所成角余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 考查三角形中位线的性质，余弦定理，异面直线所成的角的概念及求法．