Question

4．（1）求证：函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函数；
（2）已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：若常数a＞0，那么该函数在$（0，\sqrt{a}]$上是减函数，在$[\sqrt{a}，+∞）$上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性定义证明函数$f（x）=x+\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函数；
（2）当a＞0时，函数$f（x）=x+\frac{a}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数，利用单调性的定义即可证明命题正确．

解答 解：（1）证明：设x₁＞x₂≥2，则：
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）-（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+（$\frac{4}{{x}_{2}}$-$\frac{4}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{4{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（1-$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-4）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥2，∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）；
∴函数$f（x）=x+\frac{4}{x}$在[2，+∞）是增函数；
（2）当a＞0时，函数$f（x）=x+\frac{a}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数，
证明如下：设$\sqrt{a}$≥x₁＞x₂＞0，则：
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$）-（x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+（$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$）
=（x₂-x₁）+$\frac{a{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（1-$\frac{a}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-a）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵$\sqrt{a}$≥x₁＞x₂＞0，∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-a＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数；
同理可证，函数$f（x）=x+\frac{a}{x}$在[$\sqrt{a}$，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了利用单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性问题，是基础题目．