题目内容
19．
如图，已知点P是圆O外一点，过P做圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，过P做一条割线交圆O于E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．（1）求证：四点O，A，P，B共圆；
（2）求证：PB2=2ED×DF．
分析 （1）如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，可得∠OAP+∠OBP=π，即可证明．
（2）由切割线定理可得：PA2=PE•PF，由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，化简利用已知即可证明．
解答 证明：（1）如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP+∠OBP=π
∴四点O，A，P，B共圆．
（2）由切割线定理可得：PA2=PE•PF，∵PF=2PA，
∴PA2=PE•2PA，∴PA=2PE，PE=ED=$\frac{1}{2}$PA．
由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，
∴AD•DH=$\frac{1}{2}P{A}^{2}$，
∵PB=PA，
∴PB2=2ED•DF．
点评 本题考查了四点共圆、切割线定理、相交弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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