Question

15．求下列数列{a_n}的通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1；
（2）a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-a_n=2n+1，利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+a₄-a₃+…+a_n-a_n-1
=1+[2×1+1）+（2×2+1）+…+2（n-1）+1）
=1+2×[1+2+3+…+（n-1）]+（n-1）×1
=1+2×$\frac{n-1}{2}$（1+n-1）+n-1
=n²．
∴a_n=n²．
（2）∵a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×2×2²×…×2^n-1
=${2}^{\frac{{n}^{2}-n}{2}}$．
∴${a}_{n}={2}^{\frac{{n}^{2}-n}{2}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和累乘法的合理运用．